Juhuuu! Jetzt hat's geklappt!
Liebe Experten! Ich danke Euch! Es funktioniert! Uns zwar lag das Problem tatsächlich an dieser Authentifizierung!!!!!!
Ich verwende Pegasus Mail und da war unter "Internetoptionen --> SMTP" einiges falsch angeklickt! Wie's geht, steht bei der GMX-Hilfe genau dort, wohin mich "mig" geschickt hat ("Messages - Mailprogramme / SMPT Zugang"). Ich wusste nicht, dass ich alles sooo extra genau befolgen muß, wie es in der Hilfe steht

!
Das heisst also folgendes muss man anklicken:
"Advanced SMTP- Settings"
Use the Emailadress I supplied for the SMTP envelop
...
...
Send any mail in the queue during idle checks
"Authentication":
Authenticate by doing a prior pop3 mail check
Login using my pop3 settings for username and password
...
Ich danke Euch nochmal allen sehr für Eure Hilfe und freu mich nun endlich auf meine neue Emailadresse (weil meine alte Adresse von der Uni - das war meine Matrikelnummer - schaut ja auch nicht so gut aus)!
Danke!
Katma