Im Urzustand sind die SMS im Telefonspeicher. Wenn du sie sichern willst, musst du das explizit tun (auf die Nachricht gehen, dann "Mehr..." - "Nachricht speichern").
Falls das alte Handy noch ansprechbar ist, gibt es schon einen Weg:
MyPhoneExplorer ist ein ausgezeichnetes freies Programm mit vielen Optionen und jedenfalls empfehlenswerter als die SE-Programme, die beim Handy dabei sind. Die brauchst du nicht einmal installieren, wenn du dir dieses
Treiberpaket holst.
Dann kannst du zB alle SMS in einem Rutsch auf den PC kopieren.