1. Kündigen beim bisherigen Arbeitgeber (am besten schriftlich - entweder mittels eingeschriebenen Brief, per Fax oder persönlich [dann sich die Entgegennahme der Kündigung auf der Kopie des Schreibens bestätigen lassen] - unbedingt anzuführen sind, neben Deinen persönlichen Daten, der Zeitpunkt, wann Dein letzter Arbeitstag sein wird unabhängig von etwaigen offenen Urlaubstagen) - etwaige Fristen sind dabei unbedingt einzuhalten und Deine Ansprüche solltest auch gleich damit geltend machen (aliquote Sondergehälter, eventuell Urlaubsentschädigungen, Überstunden, Prämien, ...); wenn Du vor hast, den Resturlaub noch zu konsumieren, entsprechend den Antrag dafür stellen (muss aber nicht genehmigt werden; dann wird er eben ausbezahlt).
2. Am letzten Arbeitstag (oder schon vorher, je nach Wunsch des Arbeitgebers):
2a) Firmenunterlagen zurück geben (Firmenausweis, etwaige Schlüssel, Hardware wie Notebook und Handy etc); im Gegenzug dazu bekommt man üblicherweise die Gehalts-Endabrechnung (kontrollieren, ob eh alles dabei ist) und die Abmeldebestätigung von der Sozialversicherung (wichtig - das ist Deine Kontrolle, ob hierbei eh alles korrekt abgelaufen ist).
2b) Eine Abschiedsfete geben (wenn Du Lust hast) und dabei die Abschiedsgeschenke entgegen nehmen ...
Alles andere dazwischen obliegt Deiner Fantasie; ob Du es vor den Kollegen versuchst, zu verheimlichen oder Dich damit brüstest etc, bleibt Dir überlassen. Wichtig jedenfalls: Dir weiterhin nichts zu Schulden kommen lassen, weil das dann trotz Deiner ausgesprochenen Kündigung zu einer fristlosen Entlassung führen kann.
Viel Glück und Erfolg bei der neuen Firma wünsche ich jedenfalls!