Ok, ich hab's jetzt doch alleine geschafft. Scheinbar wurden die benötigten .jar Files nicht gefunden, obwohl sie sie eigentlich im Classpath befunden hatten!
Stattdessen habe ich nun alle benötigten .jar Files ins Verzeichnis java_home/jre/lib/ext kopiert, und jetzt funktioniert alles.
Kann mir mal jemand erklären, warum das vorher nicht funktioniert hat, obwohl der Classpath gesetzt war? Ist nämlich nicht das erste mal, das mir sowas passiert...