CPU is unwahrscheinlich. Wie schaun die Kondensatoren auf dem Mainboard aus? Die könnten es sein. Ein Austausch der Kabel für die Harddisks (insbesondere der breiten, meist verdrehten) kann auch nicht schaden, die sind oft Quelle von nicht reproduzierbaren Fehlern.

Würde ich auch probieren.
Anscheinend bringt das Netzteil die erforderlichen Spannungen erst nach einer gewissen Zeit auf, das erklärt, warum er nach mehrmaligen Einschalten doch läuft.